矢量

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基本概念

矢量，指线性空间中需要大小和方向才能完整表示的物理量，通常绘画成箭号，因此叫矢量。现实世界有些东西只用数值是描述不出来的，因为它还包括方向，比如位移、速度、加速度、力、力矩、动量、冲量等，都是矢量。在数学中，矢量也常称为向量，意指有方向的数量。


向量的表示

在java中，要用code表示向量，你可能会先去找 java class Vector 但是事实上这个类只是数组类的一个扩展，其实对我们的意义并不大。而在Processing 中，我们有自己的向量类，这里介绍一下他的大概结构，要使用向量类的话直接用Processing 的就好了。 

public class PVector {
  public float x;
  public float y;
  public float z;

  PVector(float x_, float y_, float z_) {
    x = x_; y = y_; z = z_;
  }

  PVector(float x_, float y_) {
    x = x_; y = y_; z = 0f;
  }

  /**functionality to go here -- see below**/
}

这里你可能会有二个好奇，第一这个向量类为什么只有x,y,z 3个表示的数量，方向信息在哪呢？第二为什么有2个同名的构造函数？ 事实上在给定在三维空间中的任何一个向量，我们可以将其分解成与坐标轴平行的三个分向量表示；给定在二维空间中的任何一个向量，我们将其分解成与坐标轴平行的两个分向量表示。这些分向量因为其方向特殊，我们可以进一步将其简化成没有方向的数量，用x,y,z上的数量表示即可。至于为什么同名，是因为这是java的特性 重载，根据参数的不同而动态调用名字相同而方法不同的函数。这种语法在java中是合法的。


要描述一个物体在一个虚拟空间的运动，我们需要用一些信息来描述它。比如在一个二维空间（就像我们电脑的显示屏）,一个方块从屏幕的一端移动到另一端。那么在每一个瞬间会有如下信息来描述它的状态：

  • 位置 — 物体的位置，在二维空间里可以用一个点来表示。
  • 速度 — 单位时间里物体位置的变化量，在二维空间里用一个向量来表示。
  • 加速度 — 单位时间里物体速度的变化量，在二维空间里用一个向量来表示。


严格的来说，表示位置信息的是一个点，表示速度和加速度的是向量。然后为了简化我们的程序，我们将位置也用一个向量表示，其实这里只是借用了向量的属性来储存位置信息，意义上不是一样的。 好，现在我们有三个向量，下面介绍一种描述物体运动最简单的算法思路。 

速度 += 加速度
位置 += 速度
得到新位置以后，在新位置绘制物体

这里你会发现需要给向量做加法了。然而对于二维向量，它是用一对数值来表示的，所以我们不能用传统的四则运算来做向量加法了，下面介绍一下如用向量来做加减法。


向量的运算

假设这里有3个向量 v = (vx,vy), u = (ux,uy)， w = (wx,wy) 

u = v + w -->  ux = vx + wx, uy = vy + wy
u = v - w -->  ux = vx - wx, uy = vy - wy

同样的，加法的交换律和结合律同样适用: 

v + w = w + v 
u + (v + w) = (u + v) + w

对于向量，还可以用一个向量乘以和除以一个数量 

v = w * n --> vx = wx * n, vy = wy * n
v = w / n --> vx = wx / n, vy = wy / n
(n*m)*v = n*(m*v)
(n+m)*v = n*v + m*v
n*(v+u) = n*v + n*u

对于我们现在的应用，只需要掌握向量之间的加法和减法，以及向量和数量之间的乘法和除法。其实向量之间的运算一共只有三种，加法，减法和乘法，乘法这里我们就不与考虑了，可能将来会进一步介绍。


关于向量的另一项遇到的最多运算应该就是计算向量的长度（或数量）,前面我们说过向量是有方向的数量，那么它的数量（这里我们称为长度可能更直观一些）如何计算呢？ 向量的长度通常用 ||v|| 表示. 下面的公式你会发现其实就是勾股定理: 

||v2|| = sqrt ( vx*vx + vy*vy )          //对于二维向量：

||v3|| = sqrt ( vx*vx + vy*vy + vz*vz)   //对于三维向量：


参考阅读

取自"http://wiki.scile.cn/index.php/%E7%9F%A2%E9%87%8F"
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